التقارب على المدى الطويل: قانون الأعداد الكبيرة في الروليت
كيفاش المعدل يستقرّ قريب من −2.70%، وعلاش هذا ياخو وقت أكثر ممّا تتصوّر.
معدّل الخسارة في كل دورة يقرب من −1/37 كل ما تزيد الدورات، والتشتت متاعو يصغر كيف 1/√N. بعد 1,000 دورة على الأحمر، المعدل في أغلب الحالات يكون في حدود ±3% من القيمة المتوقعة متاعو.
قانون الأعداد الكبيرة
المعدل الجاري متاع رهانات مستقلة يمشي نحو القيمة المتوقعةرياضياتالقيمة المتوقعةمعدّل النتيجة في كل رهان على المدى الطويل. −1/37 من مبلغ الرهان في كل رهان أوروبي عادي.اقرا الكل ←. بعد N دورة على رهان الخلاص المتساوي بـوحدةالمالالوحدةمبلغ الرهان الأساسي اللي يخدم بيه نظام ولا لاعب. التدرّجات توصف بالوحدات باش تنطبق على أي طاولة.اقرا الكل ← وحدة، النتيجة المعدّلة في كل دورة القيمة المتوقعة متاعها −1/37 والانحراف المعياريرياضياتالانحراف المعياريالجذر التربيعي متاع التباين؛ البعد العادي متاع نتيجة على القيمة المتوقعة.اقرا الكل ← متاعها 1/√N. وقت N = 100 التشتت هذا يوصل 10% من مبلغ الرهان، تقريب أربعة مرّات الإشارة متاع 2.7%. وقت N = 1,000 يوصل 3.2%، تقريب قد الإشارة. وقت N = 10,000 يوصل 1%، والميزة تولّي باينة بالواضح. الميزة ما تبانش في جلسة وحدة، وما تتخبّاش في عام كامل.
شنوّة يتقارب وشنوّة ما يتقاربش
المعدل في كل دورة يتقارب. أما المجموع لا: يبعد على الصفر أكثر وأكثر كل ما يكبر N، بحوالي 2.7% من N في المتوقع، وبتشتت قدّو √N حواليه. اللاعب اللي لعب 10,000 دورة بـ$10 المتوقع يكون خاسر $2,700، زايد ولا ناقص $1,000. النسبة الجارية متاع الأحمررهانالأحمررهان خلاص متساوي على الـ18 رقم الأحمر. بالفرنسية: rouge.اقرا الكل ← من زمان استقرّت قريب من 48.65%؛ أما الرصيد الجاري ما استقرّ في حتى بلاصة.
- p10 −$440
- p25 −$280
- الوسيط −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
علاش الإحساس يغلط
الناس يستنّاو الميزة تبان بالفيسع خاطر 2.70% تبانلهم برشا، ويستنّاو السلاسل الطويلة «تتعادل» خاطر قانون الأعداد الكبيرةرياضياتقانون الأعداد الكبيرةمعدّل النتائج المستقلّة يتقارب للقيمة المتوقعة كل ما يكبر عدد التجارب.اقرا الكل ← يقول اللي المعدلات تتقارب. الزوز يغلطو في الحجم: الميزة صغيرة مقارنة بـالتباينرياضياتالتباينقياس لقدّاش النتائج تتفرّق حول القيمة المتوقعة. عالي في رهان الرقم الواحد، واطي في رهانات الخلاص المتساوي.اقرا الكل ← متاع دورة وحدة (σ = 1 وحدة قدّام EV = 0.027)، على هذاكا يلزم (1/0.027)² ≈ 1,400 دورة باش تبان بسيغما وحدة. وتقارب المعدل ما يرجّعش المجموع لتالي؛ كل ما يعمل إنّو يذوّب التذبذبات اللي فاتت.
التقارب في الرهانات الأخرين
في رهان الرقم الواحدرهانرهان الرقم الواحدرقم واحد، يخلّص 35:1.اقرا الكل ← σ = 5.84، يعني نفس الحساب يعطي (5.84/0.027)² ≈ 47,000 دورة باش الميزة توصل سيغما وحدة. اللي يراهن على رقم واحد ينجم يلعب سنين من غير ما يفرّق الميزة على الزهر في السجلات متاعو، وهو يخلّص بالضبط نفس 2.70% اللي يخلّصها اللي يراهن على الأحمر ويشوفها في جمعات.
شنوّة معناها هذا لتجربة الأنظمة
أي واحد يقول اللي نظام معيّن يخدم، لازم ينجم يورّيه على 10,000 دورة ولا أكثر بمعدل موجب وموثّق. في 1,000 دورة، معدل موجب على رهان الخلاص المتساوي يصير مرّة من خمسة تحت فرضية العدم؛ وفي 100 دورة يولّي تقريب كيف رمي الصوردي. المحاكيات في الموقع هذا تشغّل 2,000 جلسة بالطول اللي تختارو في ثانية وحدة، وهذا دليل أكثر من أي شهادة.
الصيغة
الأسئلة
الاحتمالرياضياتالاحتمالفرصة نتيجة، من 0 لـ1 ولا من 0% لـ100%. رقم واحد: 1/37 = 2.70%.اقرا الكل ← اللي ترجع رابح نهار ما ينقص نحو الصفر كل ما تلعب. والمجموع يهبط من غير حدّ.
لا. معناها التذبذبات اللي فاتت تولّي جزء صغير من عيّنة أكبر.
في رهان الخلاص المتساوي، حوالي 10,000 قبل ما تبان الميزة بالواضح. وفي رهان الرقم الواحد، حوالي 50,000.
نتفرهدو بالرياضيات
جرّب وحدك قبل. كل حل مطوي؛ حلّو وقتلي تكون حاضر.
زوز صحاب يلعبو 20 جولة من لعبة عادلةرياضياتاللعبة العادلةلعبة حتى طرف فيها ما عندو ميزة: القيمة المتوقعة متاع كل رهان صفر.اقرا الكل ←، رمية عملة وإلا الأحمررهانالأحمررهان خلاص متساوي على الـ18 رقم الأحمر. بالفرنسية: rouge.اقرا الكل ← ضد الأكحلرهانالأكحلرهان خلاص متساوي على الـ18 رقم الأكحل. بالفرنسية: noir.اقرا الكل ← مع رجوع الأصفارالعجلةالصفرالخانة الخضراء الوحيدة اللي حتى رهان خلاص متساوي، دزينة ولا عمود ما يغطّيها؛ هي مصدر ميزة الكازينو. يتسمّى زادة: الصفر الواحد، 0.اقرا الكل ←، ويتبّعو النتيجة. احسب الجولات اللي كل واحد فيهم يكون فيها قدّام (التعادل يتحسب للي كان قدّام قبلو مباشرة). آما حاجة احتمالها أكبر: اللي القيادة تتقسم 10 جولات مقابل 10، وإلا اللي صاحب واحد يقود الـ20 الكل؟
ورّي الحل
الجواب صاحب واحد يقود الـ20 جولة الكل احتمالو أكبر برشا: 35.2%، بحساب أي واحد من الزوز، مقابل 6.1% لقسمة متساوية 10 مقابل 10.
الاحتمال اللي نتيجة عادلة تكون متعادلة بعد 2k جولة هو u = C(2k, k)/2²ᵏ: يعني 0.246 بعد 10 جولات و0.176 بعد 20. نتيجة معروفة، قانون قوس الجيب، تقول اللي احتمال صاحب محدّد يقود بالضبط 2k من 2n جولة هو u(2k) × u(2n − 2k).
يقود الـ20 الكل: u(20) × u(0) = 0.176 لكل صاحب، يعني 35.2% لأي واحد منهم. قسمة متساوية: u(10) × u(10) = 0.246² = 6.1%، القسمة اللي احتمالها الأضعف من الكل.
إذن في لعبة عادلة القيادة نادرًا ما تتبدّل. لاعب كان قدّام السهرة الكل، وإلا تالي السهرة الكل، ما شاف حتى شي غريب، وهذا ما يقول حتى شي على العجلة وإلا على المهارة. إبستين (2013) يعطي نفس القانون للعب أطول: نص المرّات الجهة اللي عندها زهر أكثر تقود أكثر من 85% من اللعب.
استراحة متاع ضحك
المعدل يتقارب. والمجموع ياخو ثنيتو ويمشي.
المصادر
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.