معيار كيلي والروليت
معيار كيلي يقول للي يراهن وعندو ميزة قدّاش لازم يحط. وفي الروليت يعطي جواب واضح: حتى شي.
مبلغ كيلي = الميزة / نسبة الخلاص. كان الميزة سالبة، الصيغة تعطي نسبة سالبة، يعني ما تراهنش. أما المعيار يبقى مفيد باش تفهم علاش اللاعبين اللي يستغلّو انحياز العجلة حدّدو رهاناتهم بالطريقة هاذيكا، وعلاش الناس الأخرين الكل لازم يحدّدو الرهان حسب الميزانية.
المعيار
جون كيلي (1956) سأل: مقامر عندو ميزة معروفة، قدّاش لازم يراهن باش يكبّر رأس مال اللعبالمالرأس مال اللعبالمبلغ الكامل اللي حطّيتو على جنب للعب. وإدارة رأس المال هي إنك تقرّر قدّاش منو تخاطر بيه في كل رهان وفي كل جلسة.اقرا الكل ← متاعو أكثر ما يمكن على المدى الطويل؟ الجواب، لرهان يخلّص b مقابل 1 واحتمالرياضياتالاحتمالفرصة نتيجة، من 0 لـ1 ولا من 0% لـ100%. رقم واحد: 1/37 = 2.70%.اقرا الكل ← الربح متاعو p واحتمال الخسارة q = 1 − p، هو إنك تحط النسبة f* = (bp − q) / b من رأس المال. كان f* موجبة، راهن بالنسبة هاذي؛ كان صفر ولّا سالبة، ما تراهنش. كيلي كان يخدم في مختبرات بل، والورقة متاعو «A new interpretation of information rate» (تفسير جديد لمعدّل المعلومات) حطّت المسألة في نظرية المعلومات متاع كلود شانون: مقامر توصلو نصائح على خط فيه تشويش، بنسب خلاص عادلة، أقصى ما ينجم يكبّر رأس مالو هو بالمعدّل اللي يهز بيه الخط المعلومات. في 1961، ليو بريمان أثبت إنو الرهان على طريقة كيلي، على المدى الطويل، يكمّل قدّام أي استراتيجية مختلفة في الأساس، ويوصل لهدف محدّد تقريب في أقصر وقت.
رهان كيلي في الروليت
على الأحمررهانالأحمررهان خلاص متساوي على الـ18 رقم الأحمر. بالفرنسية: rouge.اقرا الكل ←: b = 1، p = 18/37، q = 19/37؛ f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37. على رهان الرقم الواحدرهانرهان الرقم الواحدرقم واحد، يخلّص 35:1.اقرا الكل ←: b = 35، p = 1/37، q = 36/37؛ f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295. كل رهان عادي يعطي نسبة كيلي سالبة، خاطر كل رهان عندو ميزة سالبة، والمبلغ الأمثل للنمو هو صفر. رهان كيلي في الروليت هو طريقة رسمية باش تقول اللي تقولو صفحة ميزة الكازينو: ما فمّاش حتى مبلغ يخلّي رهان قيمتو المتوقعة سالبة يكبّر رأس المال.
وين كيلي طبّقوه بالحق
اللاعبين اللي استغلّو الانحياز كان عندهم ميزة ومشكلة في حجم الرهان. جاغر وعائلة غارسيا بيلايو واليودايمونيون الكل لزمهم يقرّرو قدّاش يراهنو على الميزة اللي قاسوها، والرهان الصغير يضيّع الميزة والرهان الكبير يخاطر بالإفلاس قبل ما تبان الميزة. لـخانةالمعداتالخانةوحدة من الـ37 خانة المرقّمة على الدوّار. تتسمّى زادة: الفتحة، الكاس.اقرا الكل ← تطلع 1 من 30، كيلي يقول 0.57% من رأس المال في كل دورة على الرقم هذا: بـ$10,000، تقريب $57 للدورة، بنمو نموذجي قريب من 0.054% في كل دورة، يعني ×1.7 على 1,000 دورة. الربح المتوسط ضعف هذا، 0.11% للدورة، أما كيلي يستهدف رأس المال النموذجي، موش المتوسط اللي تنفخو شوية سلاسل فيها زهر. نص كيلي هو الاختيار العملي المعتاد خاطر تقدير الميزة موش أكيد.
النموذجي والمتوسط
الفرق بين رأس المال النموذجي والمتوسط كبير. خوذ خانة تطلع 1 مرّة من 25، يعني ميزة 44%، الرقم اللي يعطيه ثورب للجهاز متاعو. كيلي يحط عليها 1.26% من رأس المال. بعد 1,000 دورة، رأس المال النموذجي يكبر تقريب 11.5 مرّة، أما المتوسط، اللي تهزّو لفوق شوية سلاسل فيها زهر كبير، يكبر تقريب 249 مرّة. كان تراهن أكثر من كيلي، المتوسط يطلع والنتيجة النموذجية تهبط: بضعف مبلغ كيلي، رأس المال النموذجي يتضاعف كان مرّة وحدة، وبزوز مرّات ونص مبلغ كيلي يصغار، ولو إنو كل رهان مازال عندو ميزة 44%. كان تراهن أقل، الخسارة صغيرة: نص المبلغ يخلّيلك تقريب ثلاثة أرباع النمو.
وقتلي الميزة تخمين
كيلي يفترض إنو الميزة معروفة. على الطاولة هي مقدّرة، والتقدير في أغلب الحالات عالي برشا. المثال متاع إبستين، المبني على 44% متاع ثورب، هو رقم طلع 49 مرّة في 1,225 دورة على عجلة بزوز أصفارالعجلةالصفرالخانة الخضراء الوحيدة اللي حتى رهان خلاص متساوي، دزينة ولا عمود ما يغطّيها؛ هي مصدر ميزة الكازينو. يتسمّى زادة: الصفر الواحد، 0.اقرا الكل ←: 1 مرّة من 25، ميزة 44%، ومبلغ كيلي 1.26%. أما العجلة النزيهة بزوز أصفار فيها 38 رقم، وأكثر رقم يطلع فيهم يوصل 49 ولّا أكثر في 1,225 دورة تقريب مرّة من تسعة. وأكثر رقم يطلع في أي سجل هو زادة اللي عاونو الزهر أكثر، وعلى هذا حتى خانة منحازة بالحق تبان في السجل خير ممّا هي: هاذي لعنة الفائز. وكان الخانة هاذيكا في الحقيقة موش منحازة، مبلغ كيلي يولّي ببساطة رهان يخسر 5.26% في المعدل. الأجوبة المعتادة هي إنك تراهن بجزء من كيلي، وتكمّل تعدّ حتى تصمد الميزة في سجل جديد (شوف «كيفاش تكشف انحياز عجلة الروليت»).
ناس عندهم ميزة
إنك تعرف الميزة موش كيف إنك تستعملها مليح. هاغاني وديوي (2016) عطاو 61 شخص $25 لكل واحد باش يراهنو نص ساعة على قطعة نقدية قالولهم إنها تطلع وجه في 60% من المرّات، والأرباح مسقّفة بـ$250 (اللاعبين ما عرفوش بالسقف كان كيف وصلولو). كيلي يقول راهن بـ20% من رأس المال على الوجه كل مرّة، والكتّاب يقدّرو إنو رهانات ثابتة بين 10 و20% توصل للسقف تقريب في 95% من المرّات. أما كان 21% من اللاعبين اللي وصلو. 28% أفلسو، 18 من الـ61 راهنو بكل شي على رمية وحدة، تقريب الثلث كمّلو تحت الـ$25 اللي بداو بيهم، والخلاصالمالالخلاصاللي يرجّعو الرهان الرابح، يتقال «X مقابل 1» زيادة على مبلغ الرهان اللي يرجعلك.اقرا الكل ← المتوسط كان $91. كان خمسة من الـ61 سمعو بمعيار كيلي. كيف تكون عندك ميزة، حجم الرهانات هو اللي يقرّر كان تحافظ عليها؛ وكيف ما عندكش، كيف على عجلة نزيهة، حتى حجم ما يعاون.
شنوّة تستعمل في بلاصتو
من غير ميزة، حجم الرهان مسألة ميزانية، موش مسألة نمو: المبلغ = اللي تقبل تصرفو في كل دورة، محسوب من الميزانية متاع الساعة وسرعة الطاولة (صفحة إدارة رأس المال). اللي يقدّمو كيلي للاعب العادي هو الوضوح متاع جوابو: صفر. كل ما تحط فوق الصفر هو ثمن اللعب، إنتي اللي تختارو، وحتى صيغة ما تحسّنو.
ملاحظة على كيلي الجزئي و«إدارة الفلوس»
الأنظمة اللي تتباع على إنها «كيلي للروليت» وتنصح بنسبة ثابتة من رأس المال في كل رهان هي رهان ثابتاستراتيجيةالرهان الثابتتراهن بنفس المبلغ في كل دورة. هو المرجع اللي يتقارن بيه كل تدرّج.اقرا الكل ← بمبلغ يصغار. تخسر 2.70% من إجمالي المراهناتالمالإجمالي المراهناتالمبلغ الكامل اللي تراهن بيه في جلسة ولا في مدّة، بالأرباح اللي رجعت تتراهن. يتسمّى زادة: handle، action.اقرا الكل ←، وخاطر المبلغ يصغار كل ما تخسر، تخلّي الإفلاس بطيء موش مستبعد. هي طريقة معقولة باش تطوّل الميزانية؛ أما هي موش كيلي، اللي كان يقولك وقّف.
الصيغة
الأسئلة
كان بميزة مقاسة من عجلة منحازةالمختبرالعجلة المنحازةعجلة فيها عيوب مادية تخلّي شويّة خانات تطلع أكثر من 1/37. نادرة، وما تتكشفش كان بآلاف الدورات المسجّلة.اقرا الكل ← ولّا من جهاز توقيت. موش على عجلة نزيهة.
خاطر تقدير الميزة فيه غلطة، والرهان الزايد يكلّف أكثر من الرهان الناقص. نص كيلي يعطي ثلاثة أرباع النمو بربع التباينرياضياتالتباينقياس لقدّاش النتائج تتفرّق حول القيمة المتوقعة. عالي في رهان الرقم الواحد، واطي في رهانات الخلاص المتساوي.اقرا الكل ←.
لا. كيلي يحسّن النمو كيف تكون عندك ميزة. إدارة رأس المال تتحكّم في المصروف كيف ما عندكش.
نتفرهدو بالرياضيات
جرّب وحدك قبل. كل حل مطوي؛ حلّو وقتلي تكون حاضر.
جهاز التنبّؤ متاع ثورب وشانون كان يعطي ميزة تقريبًا 44%. على رقم واحد متنبّأ بيه، كيلي يقول راهن بـ1.26% من رأس مال اللعبالمالرأس مال اللعبالمبلغ الكامل اللي حطّيتو على جنب للعب. وإدارة رأس المال هي إنك تقرّر قدّاش منو تخاطر بيه في كل رهان وفي كل جلسة.اقرا الكل ←. وشنوّة يصير كان نفس الميزة 44% جات على رهان واحد مفرّق على خمسة أرقام جيران؟
ورّي الحل
الجواب وقتها كيلي يقول 7.1% من رأس المال، ورأس المال يكبر تقريبًا ستّة مرّات أسرع: تقريبًا 1.25 مليون ضعف على 1,000 رهان، مقابل تقريبًا 11.5 ضعف.
رهان الرقم الواحدرهانرهان الرقم الواحدرقم واحد، يخلّص 35:1.اقرا الكل ← بميزة 44% يربح باحتمال 0.04، خاطر 36 × 0.04 = 1.44. مبلغ كيلي هو الميزة مقسومة على نسبة الخلاص: 0.44/35 = 1.26%. النمو النموذجي في كل رهان هو 0.04 × ln(1 + 35 × 0.0126) + 0.96 × ln(1 − 0.0126) ≈ 0.00244، إذن 1,000 رهان يضربو رأس المال تقريبًا في e^2.44 ≈ 11.5.
فرّق مبلغ واحد على خمسة أرقام والرهان يربح باحتمال 0.20 ويخلّص 36/5 على 1، يعني 6.2 مقابل 1: ديما ميزة 44%، خاطر 0.2 × 7.2 = 1.44. مبلغ كيلي يولّي 0.44/6.2 = 7.10%، والنمو في كل رهان 0.01404، تقريبًا 5.75 مرّات أكثر. على 1,000 رهان هذا يعطي e^14.04، تقريبًا 1.25 مليون.
الميزة هي هي؛ التقلّبات أصغر. رهان يربح مرّة من خمسة ينجم يهزّ جزء أكبر من رأس المال من غير ما يخاطر بالإفلاس، والنمو متاع كيلي يكافئ هذا. ثورب (1984) يستعمل المثال باش يورّي علاش لاعبين التنبّؤ يراهنو على قطاعاتالعجلةالقطاعقوس متّصل من الخانات على العجلة، موش مجموعة على لوحة الرهان.اقرا الكل ←. في الواقع خمسة جيرانرهانالجيرانرقم والزوز خانات اللي على كل جنب منو على العجلة، خمسة جيتونات على أرقام وحدهم.اقرا الكل ← عندهم ميزة أقل شويّة من أحسن رقم وحدو (شوف «اللعب بميزة»).
لاعب لقى زوز خاناتالمعداتالخانةوحدة من الـ37 خانة المرقّمة على الدوّار. تتسمّى زادة: الفتحة، الكاس.اقرا الكل ← جيران كل وحدة فيهم تطلع 1 مرّة من 25 عوض 1 من 37. يراهن على رهان الزوز أرقامرهانرهان الزوز أرقامزوز أرقام حذا بعضهم، يخلّص 17:1.اقرا الكل ← اللي بيناتهم بـ17 مقابل 1، وإلا على كل رقم وحدو كرهان رقم واحد؟ قدّاش يقول كيلي، وقدّاش يكبر رأس المال بالسرعة مقارنة بخانة وحدة من النوع هذا؟
ورّي الحل
الجواب ما يفرقش: 2.59% من رأس المال على رهان الزوز أرقام، وإلا 1.29% على كل رقم. رأس المال النموذجي يكبر تقريبًا 155 مرّة في 1,000 دورة، مقابل 11.5 مرّة بخانة وحدة.
رهان الزوز أرقام يربح باحتمالرياضياتالاحتمالفرصة نتيجة، من 0 لـ1 ولا من 0% لـ100%. رقم واحد: 1/37 = 2.70%.اقرا الكل ← 2/25 = 0.08 ويخلّص 17 مقابل 1، إذن يرجّع 18 × 0.08 = 1.44 على كل وحدةالمالالوحدةمبلغ الرهان الأساسي اللي يخدم بيه نظام ولا لاعب. التدرّجات توصف بالوحدات باش تنطبق على أي طاولة.اقرا الكل ← مراهن بيها: ميزة 44%، كيف خانة منحازة وحدة. مبلغ كيلي هو الميزة مقسومة على نسبة الخلاص: 0.44/17 = 2.59%.
زوز رهانات رقم واحد بـ1.29% كل واحد يعطيو بالضبط نفس النتايج. وقتلي يطلع واحد من الرقمين، جيتونالمالالجيتونقطعة تمثّل مبلغ ثابت، تتحطّ على لوحة الرهان باش تراهن. يتسمّى زادة: check.اقرا الكل ← يربح 35 مقابل 1 والآخر يتخسر، يعني صافي 34 × 1.29% = 44% من رأس المال، كيف ما يخلّص رهان الزوز أرقام؛ ووقتلي ما يطلع حتى واحد، الزوز يتخسرو.
النمو في كل دورة 0.00505، مقابل 0.00244 لخانة وحدة، إذن على 1,000 دورة رأس المال النموذجي يكبر e^5.046 ≈ 155 مرّة عوض e^2.44 ≈ 11.5 مرّة. زوز أرقام باهين يسواو برشا أكثر من زوز مرّات رقم واحد، وهذا علاش لاعبين الانحياز يراهنو على مجموعات أرقام. ثورب (1984) يعمل نفس المقارنة.
استراحة متاع ضحك
المبلغ الأمثل للنمو في الروليت رقم الناس الكل تعرفو من قبل.
المصادر
- Kelly, J. L. “A new interpretation of information rate.”
- Breiman, L. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Haghani, V. & Dewey, R. “Rational decision-making under uncertainty: observed betting patterns on a biased coin.”